随机信号处理笔记-第三章：卡尔曼滤波

发表于 2023-11-13 更新于 2024-03-26 分类于随机信号处理阅读次数：本文字数： 3.4k 阅读时长 ≈ 3 分钟

随机信号处理笔记-第三章：卡尔曼滤波

1. 公式快捷查询

为了方便查询，这一章开头直接给出卡尔曼的一些通用结论和黄金五公式，考试不要求硬背这五个公式，但实际工程应用中会经常用到，KF的公式推导确实比较多，留到有时间再补充到这一章里面吧。

先做一些符号阐释

再给出两个系统通用的状态表示的方程

含义	公式
状态方程
测量方程

最后，给出卡尔曼滤波的黄金五公式

注：的选取与两个噪声有关，与成正比，与成反比。

其中，公式1，2为卡尔曼滤波的预测部分，公式3，4，5为卡尔曼滤波的更新部分。

卡尔曼滤波的本质是对预测值与观测值进行最优融合，这个权值与二者自身的方差有关，方差小的部分权值就大，可以充分利用不确定性得到准确值。用这张图可以很清晰地展现卡尔曼滤波的本质。

卡尔曼滤波在稳态下与维纳滤波有相同的效果，因为它们都是以MSE为准则的线性估计器。

	卡尔曼滤波	维纳滤波
对输入输出信号的要求	假设输入信号遵循某个已知的线性状态方程，可以处理非平稳过程	要求输入输出都为平稳信号
解决最佳滤波的方式	用时域与状态变量，理论上是维纳滤波的推广和发展	用频域及传递函数的方法
状态或信号过程的产生	卡尔曼滤波将状态和信号过程的产生看作是白噪声激励有限维数系统的输出	-
对观测值的处理	卡尔曼滤波在时域上采用线性递推形式对观测值进行处理，能实时给出系统状态的最优估计，并突破了单维输入输出的限制	-

例：降低方差

设两个不相关的观测量，它们的方差，若需要融合二者使其方差最小，求融合权值

解：令，则，展开有这是一个关于的二次函数，可求得最小值点为则最优解权值系数与对方的方差有关带入可得方差

设与为离散随机过程，具有功率谱密度

并且已知，，再时开始观测信号，试用卡尔曼滤波公式求

解：核心思路为逐个寻找第一节符号阐释中的每一项数值和表达式。

与维纳滤波相同，先求

对应系数可得,

因此有

对应状态方程有。

根据，可得。

题目求的是，先写出的公式，

现在有了，那么有

现在只剩未知，接下来求。

那么现在需要求的就是

根据的公式

可得，将带入有

求稳态解，将上式和用带入并化简有

解方程可有，将其带入的表达式有

现在终于可以算了

因此，最后的递推方程为